Question

10．设S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，且${S_n}=\frac{1}{6}{a_n}（{a_n}+3）$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+2）}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：${T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）通过${S_n}=\frac{1}{6}{a_n}（{a_n}+3）$与S_n-1=$\frac{1}{6}$a_n-1（a_n-1+3）作差，进而可知数列{a_n}是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：∵${S_n}=\frac{1}{6}{a_n}（{a_n}+3）$，S_n-1=$\frac{1}{6}$a_n-1（a_n-1+3），
∴a_n=$\frac{1}{6}$[${{a}_{n}}^{2}$+3a_n-（${{a}_{n-1}}^{2}$+3a_n-1）]，
整理得：${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$=3（a_n+a_n-1），
又∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
又∵a₁=$\frac{1}{6}$a₁（a₁+3），即a₁=3或a₁=0（舍），
∴数列{a_n}是首项、公差均为3的等差数列，
∴其通项公式a_n=3n；
（2）证明：由（1）可知${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-1）（{a_n}+2）}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）
＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．