Question

5．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足3S_n-4a_n+2=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n为{b_n}的前n项和，求证：$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{T{\;}_k}}}＜2$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1，a₁=2，当n≥2，求得a_n=4a_n-1，数列{a_n}是首项为a₁=2，公比为4的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可得出，
（Ⅱ）写出{b_n}的通项公式，b_n=2n-1，及前n项和T_n=n²，采用裂项法，化简$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{{T}_{k}}$=$2-\frac{1}{n}$＜2．

解答 解：（Ⅰ）由3S_n-4a_n+2=0，令n=1，可得：a₁=2；  …（2分）
当n≥2时，可得（3S_n-4a_n+2）-（3S_n-1-4a_n-1+2）=0⇒a_n=4a_n-1…（4分）
所以数列{a_n}是首项为a₁=2，公比为4的等比数列，
故：${a_n}=2•{4^{n-1}}$=2^2n-1…（6分）
（Ⅱ）${b_n}={log_2}{2^{2n-1}}=2n-1$，
T_n=1+3+…+（2n-1）=n²…（8分）
$\sum_{k=1}^n{\frac{1}{{T{\;}_k}}}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{n^2}$≤$1+\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{（n-1）×n}$…（11分）
=$1+（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$2-\frac{1}{n}$＜2…（12分）

点评 本题考查求数列通项公式及前n项和公式，属于中档题．