Question

14．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的$\frac{1}{4}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 设双曲线的一个焦点为（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，运用点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的一个焦点为（c，0），
一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，
由题意可得$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=$\frac{1}{4}$•2c，
即有c=2b，由c²=a²+b²，可得c²=a²+$\frac{1}{4}$c²，
即有c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查渐近线方程和离心率公式的运用，属于基础题．