Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，c是半焦轴距，P是双曲线上异于顶点的点，满足ctan∠PF₁F₂=atan∠PF₂F₁，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，1+$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）
• C． （1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{3}$）
• D． （1+$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}{tan∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，设P（m，n）为双曲线的右支上一点，由F₁（-c，0），F₂（-c，0），运用直线的斜率公式和m＞a，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由ctan∠PF₁F₂=atan∠PF₂F₁，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}{tan∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，
设P（m，n）为双曲线的右支上一点，
由F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得$\frac{tan∠P{F}_{2}{F}_{1}}{tan∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=-$\frac{n}{m-c}$•$\frac{m+c}{n}$=-$\frac{m+c}{m-c}$=-1-$\frac{2c}{m-c}$，
由m＞a可得-1-$\frac{2c}{m-c}$＞-1+$\frac{-2c}{a-c}$=-1+$\frac{2e}{e-1}$，
即有e+1＞$\frac{2e}{e-1}$，即e²-2e-1＞0，解得e＞1+$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线的斜率公式和双曲线的范围，考查化简整理的运算能力，属于中档题．