Question

11．已知等差数列{a_n}的公差d=1，记{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₃+S₅=S₆．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={2^{a_n}}$，求使得b_k+b_k+1+b_k+2+…+b_2k-1=240的正整数k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等差数列{a_n}的公差d=1，a_n=a₁+（n+1）d，S₃+S₅=S₆，（3a₁+3d）+（5a₁+10d）=6a₁+15d，求得a₁=1，求得a_n=n；
（Ⅱ）写出${b}_{n}={2}^{n}$，将b_k+b_k+1+b_k+2+…+b_2k-1转化为2^2k-2^k=240，求得2^k=16，求得的值．

解答 解（Ⅰ）等差数列{a_n}的公差d=1，记{a_n}的前n项和为S_n，
∵S₃+S₅=S₆，
（3a₁+3d）+（5a₁+10d）=6a₁+15d，
解得：a₁=d=1，
∴a_n=a₁+（n+1）d=n，
（Ⅱ）${b}_{n}={2}^{n}$，
b_k+b_k+1+b_k+2+…+b_2k-1=2^k+2^k+1+2^k+2+2^2k-1=2^2k-2^k，
令t=2^k＞0，则t²-t=240，解得：t=16，t=-15，
∴2^k=16，
∴k=4．

点评 题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，属于中档题．