Question

1．在平面直角坐标系中，已知曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（0＜a＜2），曲线C₂：x²+y²-x-y=0，Q是C₂上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C₂的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C₃的方程；
（Ⅱ）设M、N分别是C₁与C₃上的动点，若|MN|的最小值为$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C₂，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C₃的方程；
（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C₂：x²+y²-x-y=0，
即为ρ²-ρ（sinθ+cosθ）=0，
可得C₂的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则$ρ'=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=4$，
即有$\sqrt{2}$ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=4，
故C₃的直角坐标方程为x+y=4；
（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），
则M到直线C₃的距离$d=\frac{{|{acosθ+sinθ-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{{a^2}+1}sin（θ+φ）-4}|}}{{\sqrt{2}}}≥\frac{{4-\sqrt{{a^2}+1}}}{{\sqrt{2}}}$，
所以$\frac{4-\sqrt{1+{a}^{2}}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
解得$a=\sqrt{3}$．

点评 本题考查直角坐标与极坐标的转化，考查椭圆的参数方程的运用，以及点到直线的距离公式，考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的值域的运用，属于中档题．