Question

6．经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1右焦点的直线与双曲线交于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线的条数为（　　）

• A． 4条
• B． 3条
• C． 2条
• D． 1条

Answer 1

分析 根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案．

解答 解：由双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，可得a=2，b=1．
若AB只与双曲线右支相交时，AB的最小距离是通径，
长度为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，
∵AB=4＞1，∴此时有两条直线符合条件；
若AB与双曲线的两支都相交时，此时AB的最小距离是实轴两顶点的距离，
长度为2a=4，距离无最大值，
∵AB=4，∴此时有1条直线符合条件；
综合可得，有3条直线符合条件．
故选：B．

点评 本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，分析其弦长最小值，从而求解，可避免由弦长公式进行计算．