Question

17．已知A，B分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P是双曲线C右支上位于第一象限的动点，设PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{2b}{a}$，+∞）
• B． （$\frac{b}{a}$，+∞）
• C． [$\frac{b}{a}$，+∞）
• D． [$\frac{b}{a}$，$\frac{2b}{a}$）

Answer 1

分析 由题意可得A（-a，0），B（a，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式可得k₁k₂=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，k₁，k₂＞0，再由基本不等式即可得到k₁+k₂的取值范围．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（a，0），设P（m，n），
可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即有$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
可得k₁k₂=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，k₁，k₂＞0，
则k₁+k₂≥2$\sqrt{{k}_{1}{k}_{2}}$=$\frac{2b}{a}$，
由A，B为左右顶点，可得k₁≠k₂，
则k₁+k₂＞$\frac{2b}{a}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查基本不等式的运用以及运算能力，属于中档题．