Question

7．已知F是双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6$\sqrt{6}$）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=-2$\sqrt{6}$x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．

解答 解：双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的右焦点为（3，0），
由A（0，6$\sqrt{6}$），可得直线AF的方程为y=-2$\sqrt{6}$x+6$\sqrt{6}$，
|AF|=$\sqrt{9+（6\sqrt{6}）^{2}}$=15，
设直线y=-2$\sqrt{6}$x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=t-2\sqrt{6}x}\\{8{x}^{2}-{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，可得16x²-4$\sqrt{6}$tx+t²+8=0，
由判别式为0，即有96t²-4×16（t²+8）=0，
解得t=-4（4舍去），
可得P到直线AF的距离为d=$\frac{|6\sqrt{6}+4|}{\sqrt{1+24}}$=$\frac{4+6\sqrt{6}}{5}$，
即有△APF的面积的最小值为$\frac{1}{2}$d•|AF|=$\frac{1}{2}$×$\frac{4+6\sqrt{6}}{5}$×15=6+9$\sqrt{6}$．
故答案为：6+9$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角形的面积的最小值的求法，注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．