Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，$BC=\frac{1}{2}AD=1$，$CD=\sqrt{3}$．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PE⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，由此能证明PE⊥平面ABCD．
（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，则MH∥PE，从而∠MBH即为BM与平面ABCD所成角，由此能求出直线BM与平面ABCD所成角的正切值．
（3）由CD∥BE，得直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角，由此能求出直线BM与CD所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵PA=PD，E为AD的中点，∴PE⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD．
解：（2）连结EC，取EC中点H，连结MH、HB，
∵M是PC的中点，H是EC的中点，∴MH∥PE，
由（1）知PE⊥平面ABCD，∴MH⊥平面ABCD，
∴HB是BM在平面ABCD内的射影，
∴∠MBH即为BM与平面ABCD所成角，
∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，E为AD的中点，∠ADC=90°，
∴四边形BCDE为矩形，∴EC=2，HB=$\frac{1}{2}EC=1$，
又∵MH=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴△MHB中，tan$∠MBH=\frac{MH}{HB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直线BM与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）由（2）知CD∥BE，
∴直线BM与CD所成角即为直线BM与BE所成角
连接ME，Rt△MHE中，$ME=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
Rt△MHB中，$BM=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，又$BE=CD=\sqrt{3}$，
∴△MEB中，$cos∠MBE=\frac{{B{M^2}+B{E^2}-M{E^2}}}{2BM•BE}=\frac{{\frac{7}{4}+3-\frac{7}{4}}}{{2×\frac{{\sqrt{7}}}{2}×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴直线BM与CD所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值和线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．