Question

3．如图，已知四边形ABCD中，AB=CD=1，AD=$\sqrt{2}$BC=2，∠A+∠C=$\frac{3π}{4}$．则BD的长为$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

Answer 1

分析 利用两次余弦公式，求得3cosA+sinA=1，将∠C=$\frac{3π}{4}$∠A，代入求得cosA=$\frac{3}{5}$的值，可求得BD．

解答 解：在△ABD中由余弦定理可知：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA，
在△CDB中与余弦定理可知：BD²=DC²+BC²-2AB•AD•cosC，
将AB=CD=1，AD=$\sqrt{2}$BC=2代入，整理得：2cosA-$\sqrt{2}$cosC=1，∠A+∠C=$\frac{3π}{4}$，
2cosA-$\sqrt{2}$cos（$\frac{3π}{4}$-A）=1，
整理得：3cosA+sinA=1，
两边平方（3cosA+sinA）²=9cos²A+6cosAsinA+sin²A=cos²A+sin²A，
整理得：sinA=-$\frac{4}{3}cosA$，
cosA=$\frac{3}{5}$，
BD=$\sqrt{4+1-4×\frac{3}{5}}$，
BD=$\frac{\sqrt{65}}{5}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{65}}{5}$．

点评 本题考查余弦定理及三角恒等变换，属于中档题．