Question

18．数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1=a₁+a_n+n（n∈N^*），则$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$等于（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{4028}{2015}$
• C． $\frac{4032}{2017}$
• D． $\frac{2014}{2015}$

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=a₁+a_n+n（n∈N^*），写出a_n+1-a_n=n+1，采用累加法，求得a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4032}{2017}$．

解答 解：a₁=1，a_n+1=a₁+a_n+n（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=n+1，
a₂-a₁=2，
a₃-a₂=3，
…a_n-a_n-1=n，
累加得：a_n-a₁=2+3+4+…+n，
∴a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2016}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），
=2（1-$\frac{1}{2017}$），
=$\frac{4032}{2017}$，
故答案选：C．

点评 本题考查采用累加法求数列的通项公式，裂项法求前n项和，属于中档题．