Question

4．双曲线$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{b^2}=1$的离心率为2，则双曲线的焦点到渐近线的距离是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得双曲线的a=3，由离心率公式可得c=6，解得b，求出渐近线方程和焦点，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{b^2}=1$的a=3，c=$\sqrt{9+{b}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$=2，即有c=2a=6，
即$\sqrt{9+{b}^{2}}$=6，解得b=3$\sqrt{3}$．
渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即为$\sqrt{3}$x±3y=0，
则双曲线的焦点（0，6）到渐近线的距离是$\frac{|3×6|}{\sqrt{3+9}}$=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查离心率公式的运用，以及运算能力，属于基础题．