Question

9．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$，且C的一个焦点到l的距离为$\sqrt{3}$，则C的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 求出双曲线的一条渐近线方程，可得b=$\sqrt{3}$a，再由点到直线的距离公式，计算可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线l的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由题意可得$\frac{b}{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
即b=$\sqrt{3}$a，
由C的一个焦点到l的距离为$\sqrt{3}$，可得
$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=$\sqrt{3}$，
解得a=1，
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．