Question

18．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$ （α为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（I）求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P（-1，1），求|PB|+|PA|的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函数的关系消参数α得到曲线C的普通方程，将直线l的极坐标方程按和角公式展开，利用直角坐标与极坐标的对应关系得出直线l的直角坐标方程；
（II）分别求出P点到圆心和直线的距离，得出|PA|和|PB|的最小值．

解答 解：（I）曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=1，
∵ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=2$\sqrt{2}$．
∴ρsinx+ρcosx=4，
∴直线l的直角坐标方程为x+y-4=0．
（II）曲线C的半径r=1，圆心为（2，0）．
∴曲线C的圆心C（2，0）到P点的距离d=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{10}$，
∴|PA|的最小值为d-r=$\sqrt{10}$-1．
点P（-1，1）到直线l的距离d′=$\frac{|2-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
∴|PB|的最小值为$\sqrt{2}$．
∴|PB|+|PA|的最小值为$\sqrt{10}+\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，距离公式的应用，属于基础题．