Question

3．在极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosa}\\{y=sina}\end{array}\right.$（a为参数）．
（1）求曲线C₁的平面直角坐标方程和曲线C₂的极坐标方程；
（2）点P是曲线C₂上一动点，求点P到直线ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3的最小距离．

Answer 1

分析 （1）讲曲线C₁的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程，先将曲线C₂化成普通方程，再化为极坐标方程；
（2）把直线化成直角坐标方程，求出C₂的圆心到直线的距离，减去半径即为最小距离．

解答 解：（1）由ρ=2cosθ+2sinθ得，ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y．
曲线C₂的普通方程为（x-2）²+y²=1．即x²+y²-4x+3=0．
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ+3=0．
（2）曲线C₂的圆心为（2，0）．
∵ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3，∴$\frac{1}{2}ρ$sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$ρcosθ=3，
直线ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3的直角坐标方程为$\frac{1}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}x-3=0$，即$\sqrt{3}$x-y+6=0．
∴曲线C₂的圆心到直线的距离为$\frac{2\sqrt{3}+6}{2}$=$\sqrt{3}$+3＞1．
∴点P到直线ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=3的最小距离为$\sqrt{3}+$3-1=$\sqrt{3}+2$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．