Question

13．已知F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F₁的直线与双曲线C的右支交于点P，若线段F₁P的中点Q恰好在双曲线C的一条渐近线，且$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得F₁（-c，0），设P（m，n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式和向量垂直的条件：数量积为0，由两直线垂直的条件：斜率之积为0，解方程可得P的坐标，代入双曲线的方程，化简可得b=2a，由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：由题意可得F₁（-c，0），设P（m，n），
可得$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，③
中点Q的坐标为（$\frac{m-c}{2}$，$\frac{n}{2}$），且Q在渐近线y=-$\frac{b}{a}$x上，
由$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，可得PF₁⊥PF₂，
即有OQ⊥PF₁，可得
$\frac{n}{m+c}$=$\frac{a}{b}$，①
又$\frac{n}{2}$=-$\frac{b}{a}$•$\frac{m-c}{2}$，②
由①②解得m=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$，
代入③可得，$\frac{（{b}^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
由c²=a²+b²，化简可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和向量垂直的条件，以及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．