Question

5．设F₁，F₂分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得（${\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F_2}}}$）•$\overrightarrow{{F_2}P}$=0，其中O为坐标原点，且|${\overrightarrow{P{F_1}}}$|=2|${\overrightarrow{P{F_2}}}$|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 运用向量的减法和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{1}}$|=c，即有PF₁⊥PF₂，由双曲线的定义结合条件，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，运用勾股定理可得2c=2$\sqrt{5}$a，由离心率公式可得．

解答 解：$（{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，即为
（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
即有$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²=0，
可得|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{1}}$|=c，
即有PF₁⊥PF₂，
由双曲线的定义可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，
又|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
由勾股定理可得|F₁F₂|=$\sqrt{16{a}^{2}+4{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
即有2c=2$\sqrt{5}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和向量数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．