Question

10．已知O为坐标原点，双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-{y^2}=1（a＞0）$上有一点P，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形OAPB的面积为1，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，求得l的方程，联立另一条渐近线可得交点A，|OA|，求得P到OA的距离，由平行四边形的面积公式，化简整理，解方程可得a=2，求得c，进而得到所求双曲线的离心率．

解答 解：由双曲线方程可得渐近线方程x±ay=0，
设P（m，n）是双曲线上任一点，设过P平行于x+ay=0的直线为l，
则l的方程为：x+ay-m-an=0，l与渐近线x-ay=0交点为A，
则A（$\frac{m+an}{2}$，$\frac{m+an}{2a}$），|OA|=|$\frac{m+an}{2}$|$\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$，
P点到OA的距离是：$d=\frac{{|{m-an}|}}{{\sqrt{1+{a^2}}}}$，
∵|OA|•d=1，∴|$\frac{m+an}{2}$|•$\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$.$\frac{{|{m-an}|}}{{\sqrt{1+{a^2}}}}$=1，
∵$\frac{m^2}{a^2}-{n^2}=1$，∴a=2，∴$c=\sqrt{5}$，
∴$e=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和两直线平行的条件：斜率相等，联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．