Question

17．已知双曲线以锐角△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a、b、c，且a=2，b=3，$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3+\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{3-\sqrt{7}}{2}$
• C． 3-$\sqrt{7}$
• D． 3+$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 运用正弦定理，可得C=$\frac{π}{3}$，再由余弦定理可得c=$\sqrt{7}$，运用双曲线的定义可得实轴长为||AB|-|AC||，运用离心率公式即可得到所求．

解答 解：由正弦定理可得，sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于锐角△ABC，可得C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=4+9-2×2×3×$\frac{1}{2}$=7，
解得c=$\sqrt{7}$，
由双曲线的定义可得实轴长为||AB|-|AC||=3-$\sqrt{7}$，又|BC|=2，
故离心率为e=$\frac{2}{3-\sqrt{7}}$=3+$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用正弦定理和余弦定理，以及双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．