Question

16．如图所示，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左、右顶点为A，B过F作x轴的垂线与双曲线交于C，D两点，若AC⊥BD，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出A，B的坐标，令x=c代入双曲线的方程可得C，D的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，化简可得a=b，求得c，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（a，0），
令x=c，则y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得C（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），D（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由AC⊥BD，可得k_AC•k_BD=-1，
即有$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}$•$\frac{-\frac{{b}^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
化简可得$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$=c²-a²=b²，
即有a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于基础题．