Question

3．如图，点F₁、F₂为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左右焦点，点A、B、C分别为双曲线上三个不同的点，且AC经过坐标原点O，并满足$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{{F_2}B}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{F_2}}=0$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

Answer 1

分析 令|AF₂|=m，则|BF₂|=2m，|AB|=3m，由题意可得四边形AF₁CF₂为矩形，运用直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，可得a，c的关系，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：令|AF₂|=m，则|BF₂|=2m，|AB|=3m，
由$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$及$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{C{F_2}}=0$，
可得，四边形AF₁CF₂为矩形，
所以有$\left\{\begin{array}{l}|A{F_1}|=2a+m\\|B{F_1}|=2a+2m\end{array}\right.$，
而在Rt△AF₁B中，（2a+m）²+（3m）²=（2a+2m）²，
化简可得：$m=\frac{2}{3}a$，
故有$|A{F_1}|=\frac{8}{3}a$，$|A{F_2}|=\frac{2}{3}a$，
即$4{c^2}={（\frac{8}{3}a）^2}+{（\frac{2}{3}a）^2}$，
化简可得：$c=\frac{{\sqrt{17}}}{3}a$，
即$e=\frac{{\sqrt{17}}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{17}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．