Question

17．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₄=16．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=3${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）通过联立a₃=5与S₄=16可知首项和公差，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）变形可知b_n=$\frac{1}{3}$•9ⁿ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（I）∵a₃=5，S₄=16，
∴a₁+2d=5，4a₁+6d=16，
解得：a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，b_n=${3}^{{a}_{n}}$=3^2n-1=$\frac{1}{3}$•9ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{3}$（9+9²+…+9ⁿ）
=$\frac{1}{3}$•$\frac{9（1-{9}^{n}）}{1-9}$
=$\frac{3（{9}^{n}-1）}{8}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．