Question

17．在正项等比数列{a_n}中，若3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，则$\frac{{{a_{2014}}-{a_{2015}}}}{{{a_{2016}}-{a_{2017}}}}$=$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，根据3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，可得：2×$\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，即${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵3a₁，$\frac{1}{2}{a_3}，2{a_2}$成等差数列，
∴2×$\frac{1}{2}{a}_{3}$=3a₁+2a₂，即${a}_{1}{q}^{2}$=3a₁+2a₁q，
∴q²-2q-3=0，q＞0，
解得q=3．
则$\frac{{{a_{2014}}-{a_{2015}}}}{{{a_{2016}}-{a_{2017}}}}$=$\frac{{a}_{2014}-{a}_{2015}}{{q}^{2}（{a}_{2014}-{a}_{2015}）}$=$\frac{1}{9}$．
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．