Question

17．已知x＞1，则log_x9+log₂₇x的最小值是$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 直接利用基本不等式，即可求出log_x9+log₂₇x的最小值．

解答 解：∵x＞1，
∴log_x9＞0，log₂₇x＞0，
∴${log_x}9+{log_{27}}x=\frac{2lg3}{lgx}+\frac{lgx}{3lg3}≥2\sqrt{\frac{2lg3}{lgx}•\frac{lgx}{3lg3}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$（当且仅当$\frac{2lg3}{lgx}=\frac{lgx}{3lg3}$，即$x={3^{\sqrt{6}}}$取等号）．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查利用基本不等式求log_x9+log₂₇x的最小值，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．