Question

4．已知函数f（x）=xe^x-alnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）求f（x）=a（x-1）（e^x-a）的单调区间；
（Ⅱ）证明：b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．

Answer 1

分析 法一：（Ⅰ）求出函数的导数，利用切线的斜率与导数值的关系，求出a，利用导函数的符号求解函数的单调区间．
（Ⅱ）通过①当b≤0时，求出最小值，推出结果．②当0＜b≤e时，构造函数g（x）=xe^x-2elnx-b（x²-2x+2），利用导函数，判断函数的单调性，求解最小值，推出结果．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设g（x）=xe^x-2elnx-b（x²-2x+2）．
（1）当b=e时，求出函数的导数，然后通过①当0＜x≤1时，利用函数的带动下求解最小值．
②当x＞1时，构造函数$M（x）=g'（x）=（{x+1}）{e^x}+2e-2e（{x+\frac{1}{x}}）$，求出函数的导数，利用函数的单调性证明当x＞0时，f（x）≥e（x²-2x+2）恒成立．
（2）当b＜e时，通过x²-2x+2=（x-1）²+1＞0，证明当b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．
解法三：（Ⅰ）同解法一．（5分）
（Ⅱ）设g（x）=e^x-ex，求出极值点x=1，当x∈（0，1）时，利用函数的单调性推出g（x）≥g（1）
推出e^x≥ex，然后证明结论．

解答 解：（Ⅰ）因为$f′（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{a}{x}$，x＞0，（2分）
依题意得f′（1）=0，即2e-a=0，解得a=2e．（3分）
所以$f′（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{2e}{x}$，显然f′（x）在（0，+∞）单调递增且f′（1）=0，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
所以f（x）的递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）．（5分）
（Ⅱ）①当b≤0时，由（Ⅰ）知，当x=1时，f（x）取得最小值e．
又b（x²-2x+2）的最大值为b，故f（x）≥b（x²-2x+2）．（7分）
②当0＜b≤e时，设g（x）=xe^x-2elnx-b（x²-2x+2），
所以$g′（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{2e}{x}-2b（{x-1}）$，（8分）
令$h（x）=（{x+1}）{e^x}-\frac{2e}{x}-2b（{x-1}）$，x＞0，
则$h′（x）=（{x+2}）{e^x}+\frac{2e}{x^2}-2b$，
当x∈（0，1]时，$\frac{2e}{x^2}-2b≥0$，（x+2）e^x＞0，所以h′（x）＞0，…．（9分）
当x∈（1，+∞）时，（x+2）e^x-2b＞0，$\frac{2e}{x^2}＞0$，所以h′（x）＞0，…．…．（10分）
所以当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时，g（x）取得最小值g（1）=e-b≥0，
所以g（x）≥0，即f（x）≥b（x²-2x+2）． （11分）
综上，当b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）设g（x）=xe^x-2elnx-b（x²-2x+2）．
（1）当b=e时，$g′（x）=（{x+1}）{e^x}+2e-2e（{x+\frac{1}{x}}）$，
（6分）
①当0＜x≤1时，$（{x+1}）{e^x}≤2e，x+\frac{1}{x}≥2$，所以g′（x）≤0，（7分）
所以g（x）在（0，1]上单调递减，所以g（x）≥g（1）=0，即xe^x-2elnx≥e（x²-2x+2）．
（8分）
②当x＞1时，
令$M（x）=g′（x）=（{x+1}）{e^x}+2e-2e（{x+\frac{1}{x}}）$，
则$M′（x）=（{x+2}）{e^x}+\frac{2e}{x^2}-2e＞3e-2e＞0$，
所以M（x）在[1，+∞）上单调递增，（9分）
即g′（x）在[1，+∞）上单调递增，所以g′（x）＞g′（1）=0，
所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（1）=0，即xe^x-2elnx＞e（x²-2x+2）．
故当x＞0时，f（x）≥e（x²-2x+2）恒成立．（10分）
（2）当b＜e时，因为x²-2x+2=（x-1）²+1＞0，
所以e（x²-2x+2）＞b（x²-2x+2），（11分）
由（1）知，f（x）≥e（x²-2x+2），所以f（x）＞b（x²-2x+2）．
综合（1）（2），当b≤e时，f（x）≥b（x²-2x+2）．（12分）
解法三：（Ⅰ）同解法一．（5分）
（Ⅱ）设g（x）=e^x-ex，则g′（x）=e^x-e，
令g′（x）=e^x-e=0，得x=1，（6分）
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0；
所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，（8分）
所以g（x）≥g（1）=0，（9分）
所以e^x≥ex，所以x≥lnex，即lnx≤x-1．（10分）
因为b≤e，x²-2x+2=（x-1）²+1＞0，x＞0，
所以f（x）=xe^x-2elnx≥ex²-2e（x-1）=e（x²-2x+2）≥b（x²-2x+2）．（12分）

点评 本小题主要考查函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．