Question

13．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosφ}\\{y=-1+tsinφ}\end{array}\right.$ （t为参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）
（I）求直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，过点B（0，1）作直线l的垂线，垂足为H，试以φ为参数，求动点H轨迹的参数方程，并指出轨迹表示的曲线．

Answer 1

分析 （I）根据直线的参数方程得出直线l上的定点，和斜率，得出普通方程，将曲线C的极坐标方程两边同乘ρ展开得出曲线C的普通方程；
（II）求出l的垂线方程，解方程组得出H的参数方程．化成普通方程判断曲线类型．

解答 解：（I）直线l的普通方程为$\frac{x}{cosφ}$=$\frac{y+1}{sinφ}$，即y=tanφ•x-1．
∵ρ=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），∴ρ²=ρsinθ+$\sqrt{3}$ρcosθ，
∴曲线C的普通方程为x²+y²-$\sqrt{3}$x-y=0．
（II）由直线l的参数方程可知直线l的斜率为tanφ，
∴过点B（0，1）且与直线l垂直的直线方程为y=-$\frac{1}{tanφ}$x+1．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=tanφ•x-1}\\{y=-\frac{1}{tanφ}•x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2tanφ}{1+ta{n}^{2}φ}}\\{y=\frac{ta{n}^{2}φ-1}{1+ta{n}^{2}φ}}\end{array}\right.$．
∴动点H轨迹的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2tanφ}{1+ta{n}^{2}φ}}\\{y=\frac{ta{n}^{2}φ-1}{1+ta{n}^{2}φ}}\end{array}\right.$（φ是参数）．
化成普通方程得x²+y²=1．
∴H点的轨迹表示单位圆．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数方程的求解，属于中档题．