Question

13．设数列{a_n}的通项公式为${a_n}=n，{b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n为{b_n}的前n项和，若存在自然数m，n （m＞n）使T₁、T_n、T_m成等比数列，则m=8．

Answer 1

分析 通过裂项相消法计算可知T_n=$\frac{n}{n+1}$，进而可知${{T}_{n}}^{2}$=T₁T_m，化简可知$\frac{2}{m}$=$\frac{-{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}}$，利用其为正数可得关于想的表达式n²-2n-1＜0，计算可知n=1或n=2，分情况讨论即可．

解答 解：∵a_n=n，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
并项相加可知，T_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵存在自然数m，n （m＞n）使T₁、T_n、T_m成等比数列，
∴${{T}_{n}}^{2}$=T₁T_m，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{m}{m+1}$=$\frac{{n}^{2}}{（n+1）^{2}}$=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+2n+1}$，
两边同时取倒数，可知$\frac{2m+2}{m}$=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{2}{m}$=$\frac{-{n}^{2}+2n+1}{{n}^{2}}$＞0，
∴n²-2n-1＜0，即（n-1）²＜2，
∴n=1或n=2，
当n=1时，$\frac{2}{m}$=$\frac{-1+2+1}{1}$=2，故m=1，矛盾；
当n=2时，$\frac{2}{m}$=$\frac{-4+4+1}{4}$=$\frac{1}{4}$，故m=8；
综上所述，当且仅当n=2、m=8时，T₁、T_n、T_m成等比数列，
故答案为：8．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查裂项相消法，考查学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．