Question

2．已知数列{b_n}是首项为b₁=1，公差d=3的等差数列，b_n=l-3log₂ （2a_n）（n∈N^*）．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意得3n-2=1-3log₂（2a_n），从而${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，由此能证明数列{a_n}是等比数列．
（2）由=$（3n-2）•（\frac{1}{2}）^{n}$，n∈N^*，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵数列{b_n}是首项为b₁=1，公差d=3的等差数列，
∴由题意b_n=1+3（n-1）=3n-2，…（2分）
则由b_n=l-3log₂ （2a_n）（n∈N^*），得3n-2=1-3log₂（2a_n），则${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{（\frac{1}{2}）^{n}}{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，（n≥2，n∈N^*），…（4分）
故数列{a_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．…（5分）
（2）由（1）知，c_n=$（3n-2）•（\frac{1}{2}）^{n}$，n∈N^*，…（6分）
∴${S}_{n}=1×\frac{1}{2}+4×（\frac{1}{2}）^{2}+7×（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（3n-5）×（$\frac{1}{2}$）^n-1+（3n-2）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1×（$\frac{1}{2}$）²+4×（$\frac{1}{2}$）³+7$\frac{1}{2}$）⁴+…+（3n-5）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（3n-2）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，…（8分）
两式相减得 $\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+3[（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}+（\frac{1}{2}）^{4}+…+（\frac{1}{2}）^{n}]$-（3n-2）×（$\frac{1}{2}$）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简，得$\frac{1}{2}{S}_{n}=2-（3n+4）×（\frac{1}{2}）^{n+1}$，…（11分）
所以${S}_{n}=4-（3n+4）×（\frac{1}{2}）^{n}$，n∈N^*．…（12分）

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．