Question

17．已知数列{a_n}满足a₁=511，4a_n=a_n-1-3（n≥2）．
（1）求证：（a_n+1）是等比数列；
（2）令b_n=|log₂（a_n+1）|，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）将4a_n=a_n-1-3（n≥2）转换成，a₁+1=512≠0，$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=\frac{1}{4}$，{a_n+1}是等比数列；
（2）log₂（a_n+1）=11-2n，写出{b_n}的通项公式，b_n=|11-2n|，分类讨论n≤5，所有的项都是正的，因此S_n=10n-n²，当当n≥6时，从第六项开始是负数，S_n=2T₅-T_n=n²-10n+50．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：${a}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}$-$\frac{3}{4}$，a_n+1=$\frac{1}{4}（{a}_{n+1}+1）$，
∵a₁+1=512≠0，
∴{a_n+1}是以512为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${a}_{n}+1=512•（\frac{1}{4}）^{n-1}$=2^11-2n，
log₂（a_n+1）=11-2n，
b_n=|11-2n|，
令c_n=11-2n，设{c_n}的前n项和T_n=10n-n²，
当n≤5时，S_n=T_n=10n-n²，
当n≥6时，S_n=2T₅-T_n=n²-10n+50，
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}}&{n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50}&{n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查证明数列是等比数列，采用分类讨论法求数列的前n项和，过程简单明了，属于中档题．