Question

10．S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=2a_n-2（n∈N⁺）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S_n=2a_n-2与S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）作差，进而可知数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b_n=3n×2ⁿ，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-1，
又∵S₁=2a₁-2，即a₁=2，
∴数列{a_n}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=3n×2ⁿ，
∴T_n=3×2+6×2²+9×2³+…+3n×2ⁿ，
2T_n=3×2²+6×2³+…+3（n-1）×2ⁿ+3n×2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=3（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3n×2ⁿ⁺¹
=3•$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-3n×2ⁿ⁺¹
=-3（n-1）2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=6+3（n-1）2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．