Question

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinA，且B＞$\frac{π}{2}$，则sinA+sinC的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{9}{8}$
• C． 1
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 利用正弦定理化简得出A，B的关系，用A表示出C，利用三角函数恒等变换化简得出sinA+sinC关于sinA的函数，求出此函数的最大值即可．

解答 解：∵acosA=bsinA，∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{cosA}$，
又由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
∴sinB=cosA=sin（$\frac{π}{2}-A$），
∵B$＞\frac{π}{2}$，
∴π-B=$\frac{π}{2}-A$．
∴B=A+$\frac{π}{2}$．
∴C=π-A-B=$\frac{π}{2}-2A$．
∴sinA+sinC=sinA+cos2A=-2sin²A+sinA+1=-2（sinA-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$．
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，$0＜\frac{π}{2}-2A＜\frac{π}{2}$，
∴0$＜A＜\frac{π}{4}$，
∴0＜sinA$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴当sinA=$\frac{1}{4}$时，sinA+sinC取得最大值$\frac{9}{8}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，二次函数的最值，属于中档题．