Question

6．已知ω＞0，函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）在（$\frac{π}{2}$，π）上单调递减，则ω的最大值是$\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 根据单调性确定函数f（x）的周期范围，结合函数f（x）单调性对应的区间建立不等式关系，即可得出结论．

解答 解：∵ω＞0，且x∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴ωx∈（$\frac{πω}{2}$，πω），
则ωx-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{πω}{2}$-$\frac{π}{3}$，πω-$\frac{π}{3}$），
∵函数f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）在（$\frac{π}{2}$，π）单调递减，
∴周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，解得ω≤2；
又∵f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）的减区间满足：
2kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
取k=0，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}ω-\frac{π}{3}≥\frac{π}{2}}\\{πω-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{5}{3}$≤ω≤$\frac{11}{6}$，
所以ω的最大值是$\frac{11}{6}$．
故答案为：$\frac{11}{6}$．

点评 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，根据条件确定函数的周期取值范围以及函数单调递减区间，是解题的关键．