Question

10．已知曲线f（x）=aln（x+1）-x²-2x-1在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+（1+2c）x²+1]，是否存在实数c，使得当x∈（-1，b]，b∈[1，2]时，函数g（x）的最大值为g（b）？若存在，求c的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系即可求实数a的值；
（Ⅱ）由题意分别求出函数的导数，再讨论①当c≤0时②当c＞0时的情况，最后确定出c的取值范围．

解答 解：（I）f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x-2，f（0）=-1，
则f′（0）=a-2，
∵f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行．
∴f′（0）=a-2=0，则a=2；
（Ⅱ）∵a=2，∴f（x）=2ln（x+1）-x²-2x-1，
g（x）=$\frac{1}{2}$[f（x）+（1+2c）x²+1]=$\frac{1}{2}$[2ln（x+1）-x²-2x-1+（1+2c）x²+1]=ln（x+1）+cx²-x，
由题意g′（x）=$\frac{1}{x+1}$+2cx-1=$\frac{x（2cx+2c-1）}{x+1}$
①当c≤0时，函数g（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（0，1），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为g（b）；
②当c＞0时，令g′（x）=0有x=0或x=$\frac{1-2c}{2c}$=$\frac{1}{2c}$-1，
（a）当$\frac{1}{2c}$-1＜0即c＞$\frac{1}{2}$时，
函数g（x）在（-1，$\frac{1}{2c}$-1）和（0，+∞）上单调递增，
在（$\frac{1}{2c}$-1，0）上单调递减，
要存在实数b∈（0，1），使得当x∈（-1，b]时，函数g（x）的最大值为g（b），
则g（$\frac{1}{2c}$-1）＜g（1），代入化简得ln2c+$\frac{1}{4c}$+ln2-1＞0（1）
令h（c）=ln2c+$\frac{1}{4c}$+ln2-1，c＞$\frac{1}{2}$，
∵h′（c）=$\frac{1}{c}$（1-$\frac{1}{4c}$）＞0恒成立，
故恒有h（c）＞h（$\frac{1}{2}$）=ln2-$\frac{1}{2}$＞0，
∴c＞$\frac{1}{2}$时，（1）式恒成立；
（b）当$\frac{1}{2c}$-1＞0，即0＜c＜$\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（-1，0）和（$\frac{1}{2c}$-1，+∞）上单调递增，
在（0，$\frac{1}{2c}$-1）上单调递减，
此时由题，只需g（1）＞0，解得c＞1-ln2，
又$1-ln2＜\frac{1}{2}$，
∴此时实数c的取值范围是1-ln2＜c＜$\frac{1}{2}$；
（c）当c=$\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（-1，+∞）上单调递增，显然符合题意；
综上，实数c的取值范围是（1-ln2，+∞）．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率以及构造函数，研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．