Question

14．直线x+my+3=0与圆x²+y²+x-6y+3=0的交点为P，Q，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，求m的值．

Answer 1

分析 联立直线和圆的方程，由韦达定理可得y₁y₂和x₁x₂，由$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，解关于m的方程可得．

解答 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线和圆的方程消去x并整理可得
（1+m²）y²+（5m-6）y+9=0，△=（5m-6）²-36（1+m²）≥0，解得-$\frac{60}{11}$≤m≤0，
由韦达定理可得y₁+y₂=$\frac{6-5m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{9}{1+{m}^{2}}$，故x₁x₂=（-my₁-3）（-my₂-3）
=m²y₁y₂+3m（y₁+y₂）+9=$\frac{3{m}^{2}+18m+9}{1+{m}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，化简可得m²+6m+6=0，
解得m=-3+$\sqrt{3}$或m=-3-$\sqrt{3}$，均满足-$\frac{60}{11}$≤m≤0，
故m的值为-3+$\sqrt{3}$或-3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，涉及向量的数量积和韦达定理，属中档题．