Question

8．已知点P（x，y）是曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+cosθ}\\{y=2+\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$上的任意一点，求3x+y的取值范围．

Answer 1

分析 用参数θ表示出3x+y，利用三角函数的恒等变换化简得出3x+y最值．

解答 解：3x+y=3（3+cosθ）+（2+$\sqrt{3}$sinθ）=3cosθ+$\sqrt{3}$sinθ+11=2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+11．
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴11-2$\sqrt{3}$≤2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+11≤11+2$\sqrt{3}$．
∴3x+y的取值范围是[11-2$\sqrt{3}$，11+2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了参数方程的应用，三角函数的恒等变换，属于基础题．