Question

16．在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S．
（1）已知a=3cm，c=4cm，B=30°；
（2）已知A=75°，C=45°，b=4cm．

Answer 1

分析 （1）把已知数据代入三角形的面积公式计算可得；
（2）由题意可得B=60°，由正弦定理可得c，由和差角的三角函数公式可得sinA，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中a=3cm，c=4cm，B=30°，
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×3×4×$\frac{1}{2}$=3cm²；
（2）∵在△ABC中A=75°，C=45°，b=4cm，
∴B=180°-（75°+45°）=60°，
由正弦定理可得c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{4×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$cm，
∴sinA=sin（B+C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$=$\frac{12+4\sqrt{3}}{3}$cm²

点评 本题考查正弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式及和差角的三角函数公式，属基础题．