Question

4．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a_n=2S_n-1+2（n≥2）；数列{b_n}满足b₁+b₂+b₃+…+b_n=n²+n．
（1）数列{a_n}是等比数列吗？请说明理由；
（Ⅱ）若a₁=b₁，求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n=2S_n-1+2（n≥2），利用递推关系可得：a_n+1=3a_n．n=2时，a₂=2a₁+2，只有当a₁=2时，满足a₂=3a₁，即可判断出结论．
（II）利用递推关系、“错位相减法”即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=2S_n-1+2（n≥2），a_n+1-a_n=（2S_n+2）-（2S_n-1+2）=2a_n，化为a_n+1=3a_n．
n=2时，a₂=2a₁+2，只有当a₁=2时，a₂=6=3a₁，
此时数列{a_n}是等比数列，否则不是等比数列．
（II）∵数列{b_n}满足b₁+b₂+b₃+…+b_n=n²+n，
∴n=1时，b₁=2=a₁，
n≥2时，b_n=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，n=1时也成立．
∴b_n=2n．
此时数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为3．
∴a_n=2×3^n-1．
∴a_nb_n=4n×3^n-1．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=4（1+2×3+3×3²+…+n×3^n-1），
3T_n=4（3+2×3²+…+n×3ⁿ），
∴-2T_n=4（1+3+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=4×$（\frac{{3}^{n}-1}{3-1}-n×{3}^{n}）$，
∴T_n=（2n-1）×3ⁿ+1．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．