Question

（2011•遂宁二模）甲、乙二人进行射击比赛．甲先射击，乙后射击，二人轮流进行．已知甲每次击中目标的概率为

2

3

，乙每次击中目标的概率为

1

2

，若某人射击时出现连续两次不中则被停止射击，或若两人均未出现连续不中，则各射击5次后比赛也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射击后停止比赛而乙尚未停止比赛的概率．
（Ⅱ）求甲停止比赛时，甲所进行的比赛次数ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记“甲恰在第二次射击后停止比赛布乙尚未停止比赛”为事件A，由P（A）=

2

3

•(1-

2

3

)2•(1-

1

2

•

1

2

)能求出甲恰在第三次射击后停止比赛而乙尚未停止比赛的概率．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为2，3，4，5，分别求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）记“甲恰在第二次射击后停止比赛布乙尚未停止比赛”为事件A，
则P（A）=

2

3

•(1-

2

3

)2•(1-

1

2

•

1

2

)=

1

18

．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为2，3，4，5，
P（ξ=2）=

1

3

•

1

3

=

1

9

，
P（ξ=3）=

2

3

•

1

3

•

1

3

=

2

27

，
P（ξ=4）=

2

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

=

2

27

，
P（ξ=5）=

C

1 4

(

2

3

)3•

1

3

+3•(

2

3

)2•(

1

3

)2+(

2

3

)4=

20

27

，
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4	5
P	1 9	2 27	2 27	20 27

故Eξ=2×

1

9

+3×

2

27

+4×

2

27

+5×

20

27

=

40

9

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用．