Question

8．已知函数y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）求x＜0时f（x）的解析式；
（2）判断函数y=f（x）在区间（-∞，-2]上的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）f（x）为偶函数，求x＜0时的f（x）解析式，从而设x＜0，便有-x＞0，从而得到f（-x）=$-x-\frac{4}{x}=f（x）$，这样即得出了x＜0时f（x）的解析式；
（2）根据单调性的定义，设任意的x₁＜x₂≤-2，然后作差，通分，提取公因式x₂-x₁，从而判断f（x₁）与f（x₂）的关系即可得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）设x＜0，-x＞0，则：f（-x）=$-x-\frac{4}{x}$=f（x）；
∴x＜0时，f（x）=$-x-\frac{4}{x}$；
（2）x≤-2时，f（x）=$-x-\frac{4}{x}$，设x₁＜x₂≤-2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=-{x}_{1}-\frac{4}{{x}_{1}}+{x}_{2}+\frac{4}{{x}_{2}}$=$（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＜x₂≤-2；
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞4，$1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{2}-{x}_{1}）（1-\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-2]上单调递减．

点评 考查偶函数的定义，根据偶函数的定义求函数在对称区间上解析式的方法，函数单调性的定义，以及根据函数单调性判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差之后，是分式的一般要通分，一般提取公因式x₁-x₂或x₂-x₁．