Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知a-b=2，c=4，sinA=2sinB，则△ABC的面积为$\sqrt{15}$，sin（2A-B）=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

Answer 1

分析 由sinA=2sinB结合正弦定理可得：a=2b，又a-b=2，即可解得b，a，由余弦定理可得cosB，求得sinB，利用三角形面积公式可求面积；由已知求得sinA，可求cosA，利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简所求后即可得解．

解答 解：∵sinA=2sinB，c=4，
∴由正弦定理可得：a=2b，又a-b=2，即可解得：b=2，a=4，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{16+16-4}{2×4×4}$=$\frac{7}{8}$，可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×4×4×$$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\sqrt{15}$．
∴A为锐角，sinA=2sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{1}{4}$，
∴sin（2A-B）=sin2AcosB-cos2AsinB=2sinAcosAcosB-（1-2sin²A）sinB=2×$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{4}×\frac{7}{8}$-（1-2×$\frac{15}{16}$）×$\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．
故答案为：$\sqrt{15}$，$\frac{7\sqrt{15}}{32}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．