Question

如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.

(1)求证:AM∥平面BDE;

(2)求证:AM⊥平面BDF;

(3)求二面角ADFB的大小.

Answer 1

解法一:(1)证明:记AC与BD的交点为O,连结OE,

∵O、M分别是AC、EF的中点,四边形ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形.

∴AM∥OE.

∵OE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

 (2)证明:∵BD⊥AC,BD⊥AF，且AC交AF于A，

∴BD⊥平面AE.

又∵AM平面AE，

∴BD⊥AM.

∵AD=，AF=1，OA=1,

∴AOMF是正方形.

∴AM⊥OF.又AM⊥BD,且OF∩BD=O,

∴AM⊥平面BDF.

(3)解:设AM∩OF=H,过H作HG⊥DF于G,连结AG,

由三垂线定理得AG⊥DF,

∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角.

∵AH=,AG=,

∴sin∠AGH=.

∴∠AGH=60°.

∴二面角ADFB的大小为60°.

解法二:(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系.

设AC∩BD=N,连结NE,则点N、E的坐标分别是(,,0)、(0,0,1),

∴=(-,-,1).

又点A、M的坐标分别是(,,0)、( ,,1),

∴=(-,-,1).

∴=且与不共线.

∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE,AM平面BDE,

∴AM∥平面BDE.

(2)证明: =(-,-,1),

∵D(,0,0),F(, ,1),∴DF=(0, ,1).

∴·=0.∴⊥.

同理, ⊥.又DF∩BF=F,

∴AM⊥平面BDF.

(3)解:∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,

∴AB⊥平面ADF.

∴=(,0,0)为平面ADF的法向量.

∵·=(,,1)·(, ,0)=0,

·=(,,1)·(·,1)=0,

得⊥,⊥,

∴为平面BDF的法向量.

∴cos〈, 〉=.

∴与的夹角是60°,

即求二面角ADFB的大小是60°.