Question

（2013•丽水一模）离心率为e₁的椭圆与离心率为e₂的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则

e 2 1 -1

e 2 2 -1

=（　　）

• A．-e₁
• B．-e₂
• C．-

  1

  e1

• D．-

  1

  e2

Answer 1

分析：设椭圆方程为

x2

a12

+

y2

b12

=1，双曲线方程为

x2

a 2

-

y2

b 2

=1，它们一个公共的焦点为F（c，0）．由点到直线的距离公式，分别算出椭圆长轴端点、短轴端点和焦点到双曲线渐近线的距离关于a₁、b₁、a、b和c的式子，利用等比关系建立等式，化简得a²b 12=b²ca₁，由此对

e 2 1 -1

e 2 2 -1

进行化简可得它的值为-e₁，从而得到本题答案．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0），双曲线方程为

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0）
它们一个公共的焦点为F（c，0）
∵椭圆长轴端点A到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离|AC|=

|ba1|

a2+b2

=

ba1

c

 椭圆短轴轴端点B到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离|BD|=

|ab1|

a2+b2

=

ab 1

c

椭圆焦点F到双曲线的渐近线bx-ay=0的距离|FG|=

|bc|

a2+b2

=b
∴(

ab 1

c

)2=

ba1

c

•b，可得a²b 12=b²ca₁
因此，

e 2 1 -1

e 2 2 -1

=

( c a1 )2-1

( c a )2-1

=

c2-a12 a12

c2-a2 a2

=-

b12

a12

•

a2

b2

=-

b2ca1

a12b2

=-

c

a1

=-e₁
故选：A

点评：本题给出共焦点的椭圆与双曲线，在已知点到直线的距离成等比数列情况下化简关于离心率的分式的值，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．