Question

在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的长．

Answer 1

分析：法一：先在△ADC中用余弦定理求出∠ADC的余弦值，进而求出∠ADC，再根据互补求出∠ADB，然后在△ABD中用正弦定理就可求出AB的长；
法二：先在△ADC中用余弦定理求出∠ACD的余弦值，在根据同角三角函数关系求出∠ACD的正弦，然后在△ABC中用正弦定理就可求出AB的长．

解答：解：法一：在△ADC中，由余弦定理得：cos∠ADC=

32+52-72

2×3×5

=-

1

2

∵∠ADC∈（0，π），∴∠ADC=120°，
∴∠ADB=180°-∠ADC=60°
在△ABD中，由正弦定理得：AB=

ADsin∠ADB

sinB

=

5sin60°

sin45°

=

5 6

2

法二：在△ADC中，由余弦定理得cos∠ACD=

32+72-52

2×3×7

=

11

14

∵∠ACD∈（0，π），∴sin∠ACD=

1- cos2∠ACD

=

5 3

14

在△ABC中，由正弦定理得：AB=

ADsin∠ACD

sinB

=

7× 5 3 14

sin45°

=

5 6

2

故答案为：

5 6

2

点评：法一和法二都考查了正弦定理和余弦定理结合去解三角形，不同点在于第一步选择求的角不一样，导致了两种不同的解法．