Question

如图，在△ABC中，已知B=

π

3

，AC=4

3

，D为BC边上一点．
（I）若AD=2，S_△DAC=2

3

，求DC的长；
（Ⅱ）若AB=AD，试求△ADC的周长的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面积公式表示出三角形ADC的面积，把已知的面积，以及AC、AD的长代入，求出sin∠DAC的值，由B的范围，得到∠BAC的范围，进而确定出∠DAC的范围，利用特殊角的三角函数值求出∠DAC的度数，再由AD，AC及cos∠DAC的值，利用余弦定理即可求出DC的长；
（Ⅱ）由B=

π

3

，AB=AD，得到三角形ABD为等边三角形，可得出∠ADC为

2π

3

，进而得到∠DAC+∠C=

π

3

，用∠C表示出∠DAC，在三角形ADC中，由AC，以及sin∠ADC，sinC，sin∠DAC，利用正弦定理表示出AD及DC，表示出三角形ADC的周长，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由∠ADC的度数，得到C的范围，可得出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，确定出正弦函数的最大值，即可得到周长的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵S△DAC=2

3

，AC=4

3

，AD=2，
∴

1

2

•AD•AC•sin∠DAC=2

3

，
∴sin∠DAC=

1

2

，（2分）
∵B=

π

3

，∴∠DAC＜∠BAC＜π-

π

3

=

2π

3

，
∴∠DAC=

π

6

，（3分）
在△ADC中，由余弦定理得：DC2=AD2+AC2-2AD•ACcos

π

6

，（4分）
∴DC2=4+48-2×2×4

3

×

3

2

=28，
∴DC=2

7

；（6分）
（Ⅱ）∵AB=AD，B=

π

3

，∴△ABD为正三角形，
∵∠DAC=

π

3

-C，∠ADC=

2π

3

，
在△ADC中，根据正弦定理，可得：

AD

sinC

=

4 3

sin 2π 3

=

DC

sin( π 3 -C)

，（7分）
∴AD=8sinC，DC=8sin(

π

3

-C)，（8分）
∴△ADC的周长为AD+DC+AC=8sinC+8sin(

π

3

-C)+4

3

=8（sinC+

3

2

cosC-

1

2

sinC）+4

3

=8（

1

2

sinC+

3

2

cosC）+4

3

（9分）
=8sin（C+

π

3

）+4

3

，（10分）
∵∠ADC=

2π

3

，∴0＜C＜

π

3

，
∴

π

3

＜C+

π

3

＜

2π

3

，（11分）
∴当C+

π

3

=

π

2

，即C=

π

6

时，sin（C+

π

3

）的最大值为1，
则△ADC的周长最大值为8+4

3

．（13分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．