Question

已知：函数f（x）=ln（x+a）+x²，当x=-1时，f（x）取得极值，求：实数a的值，并讨论f（x）的单调性．

Answer 1

由题意可得：f′(x)=

1

x+a

+2x，
因为当x=-1时，f（x）取得极值，
所以有f'（-1）=0，
解得：a=

3

2

，…（3分）
可得f(x)=ln(x+

3

2

)+x2，定义域为（-

3

2

，+∞），…（4分）
所以f′(x)=

2x2+3x+1

x+ 3 2

=

(2x+1)(x+1)

x+ 3 2

，…（5分）
所以当 -

3

2

＜x＜-1时，f'（x）＞0；当 -1＜x＜-

1

2

时，f'（x）＜0；当 x＞-

1

2

时，f'（x）＞0．
所以可得下表：

x	(- 3 2 ，-1)	-1	(-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…（10分）
从而得到f（x）分别在区间 (-

3

2

，-1)，(-

1

2

，+∞)单调递增，在区间 (-1，-

1

2

)单调递减．