Question

设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．

Answer 1

【答案】分析：（I）先讨论去绝对值，写成分段函数，然后分别当x≥2时与当x＜2时的单调区间；
（II）讨论a的正负，利用二次函数的单调性以及函数的极小值与0进行比较，进行分别判定函数y=f（x）的零点个数．
解答：解：（Ⅰ）当a=2时，，①当x≥2时，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（-∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x=0；
（2）当a＞0时，，
故当x≥a时，，二次函数对称轴，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；
当x＜a时，，二次函数对称轴，
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；
∴f（x）的极大值为，
1°当，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x²-ax-a=0解之得函数y=f（x）的零点为或（舍去）；
2°当，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x₁=2和；
3°当，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由-x²+ax-a=0解得，，
∴函数y=f（x）的零点为和．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为；
当a=4时，有两个零点2和；
当a＞4时，函数有三个零点和．
点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数零点问题，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．