Question

设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f'（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把a=2代入，利用绝对值的意义将函数化简为分段函数，再对每一段利用二次函数的单调区间和对称轴的关系求出每一段的单调区间，最后综合即可求出整个函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论a的正负，利用二次函数的单调性以及函数的极小值与0进行比较，进行分别判定函数y=f（x）的零点个数．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=x|x-2|-2=

x2-2x-2，x≥2 -x2+2x-2，x＜2

，
①当x≥2时，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（-∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x₀=0；（5分）
（2）当a＞0时，f(x)=x|x-a|-a=

x2-ax-a，x≥a -x2+ax-a，x＜a

，（6分）
故当x≥a时，f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a，二次函数对称轴x=

a

2

＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；（7分）
当x＜a时，f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-a，二次函数对称轴x=

a

2

＜a，
∴f（x）在(

a

2

，a)上单调递减，在(-∞，

a

2

)上单调递增；（8分）
∴f（x）的极大值为f(

a

2

)=-(

a

2

)2+a×

a

2

-a=

a2

4

-a，1°当f(

a

2

)＜0，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x²-ax-a=0解之得
函数y=f（x）的零点为x0=

a+ a2+4a

2

或x0=

a- a2+4a

2

（舍去）；
（10分）2°当f(

a

2

)=0，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x₁=2
和x2=

a+ a2+4a

2

=2+2

2

；（11分）3°当f(

a

2

)＞0，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由-x²+ax-a=0解得，x=

a± a2-4a

2

，
∴函数y=f（x）的零点为x=

a± a2-4a

2

和x0=

a+ a2+4a

2

．（12分）
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为

a+ a2+4a

2

；
当a=4时，有两个零点2和2+2

2

；
当a＞4时，函数有三个零点

a± a2-4a

2

点评：本题主要考查通过导数求函数的单调性与函数的极值；注意函数中若含参数一般需要讨论．