设a为非负实数,函数f(x)=x|x-a|-a.
(Ⅰ)当a=2时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)讨论函数y=f(x)的零点个数,并求出零点.
分析:(I)先讨论去绝对值,写成分段函数,然后分别当x≥2时与当x<2时的单调区间;
(II)讨论a的正负,利用二次函数的单调性以及函数的极小值与0进行比较,进行分别判定函数y=f(x)的零点个数.
解答:解:(Ⅰ)当a=2时,
f(x)=x|x-2|-2=,①当x≥2时,f(x)=x
2-2x-2=(x-1)
2-3,
∴f(x)在(2,+∞)上单调递增;
②当x<2时,f(x)=-x
2+2x-2=-(x-1)
2-1,
∴f(x)在(1,2)上单调递减,在(-∞,1)上单调递增;
综上所述,f(x)的单调递增区间是(-∞,1)和(2,+∞),单调递减区间是(1,2).
(Ⅱ)(1)当a=0时,f(x)=x|x|,函数y=f(x)的零点为x
0=0;
(2)当a>0时,
f(x)=x|x-a|-a=,
故当x≥a时,
f(x)=(x-)2--a,二次函数对称轴
x=<a,
∴f(x)在(a,+∞)上单调递增,f(a)<0;
当x<a时,
f(x)=-(x-)2+-a,二次函数对称轴
x=<a,
∴f(x)在
(,a)上单调递减,在
(-∞,)上单调递增;
∴f(x)的极大值为
f()=-()2+a×-a=-a,
1°当
f()<0,即0<a<4时,函数f(x)与x轴只有唯一交点,即唯一零点,
由x
2-ax-a=0解之得函数y=f(x)的零点为
x0=或
x0=(舍去);
2°当
f()=0,即a=4时,函数f(x)与x轴有两个交点,即两个零点,分别为x
1=2和
x2==2+2;
3°当
f()>0,即a>4时,函数f(x)与x轴有三个交点,即有三个零点,
由-x
2+ax-a=0解得,
x=,
∴函数y=f(x)的零点为
x=和
x0=.
综上可得,当a=0时,函数的零点为0;
当0<a<4时,函数有一个零点,且零点为
;
当a=4时,有两个零点2和
2+2;
当a>4时,函数有三个零点
和
.
点评:本题主要考查了函数的单调性,以及函数零点问题,同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力,属于中档题.