Question

【题目】已知连续不断函数，，，

（1）证明：函数在区间上有且只有一个零点；

（2）现已知函数在上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数的零点分别为。

求证：Ⅰ)；

Ⅱ）判断与的大小，并证明你的结论。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】分析：（1）由函数的解析式可知函数在区间上单调递减，结合函数零点存在定理可得函数在区间上有且只有一个零点；

（2）Ⅰ）由题意可得，结合函数的对称性可得；

Ⅱ）由题意结合函数的特征可证得.

详解：

（1）先证明在区间上有零点：由于，

由零点存在性定理知在区间上有零点

再证明在上是单调递减函数：设

由于在上递减，所以又

从而，即在上是单调递减函数.

故函数在有且只有一个零点.

（2）Ⅰ）因为是的零点，所以有，将其变形为

，即，从而有=0 ，

又因为，且由（1)的结论在上有唯一零点，

从而有， .

Ⅱ）判断，证明如下：

由于，

由零点存在性定理和已知得，从而有，

所以有，又由已知在上单调递增，所以.